0.1 Θεωρία: Αναγνώριση Αντιστρόφως Αναλόγων Ποσών
1. Ορισμός και Βασική Ιδιότητα Δύο ποσά \(x\) και \(y\) ονομάζονται αντιστρόφως ανάλογα ή αντίστροφα όταν μεταβάλλονται με τέτοιο τρόπο ώστε, αν πολλαπλασιάσουμε την τιμή του ενός με έναν αριθμό, η αντίστοιχη τιμή του άλλου διαιρείται με τον ίδιο αριθμό. Η πλέον χαρακτηριστική ιδιότητα αυτών των ποσών είναι ότι το γινόμενο των αντίστοιχων τιμών τους παραμένει σταθερό (\(x \cdot y = \alpha\), όπου \(\alpha \neq 0\)). Αυτή η σταθερά \(\alpha\) αντιπροσωπεύει συχνά ένα συνολικό μέγεθος, όπως το συνολικό έργο, μια σταθερή απόσταση ή μια συνολική ποσότητα προς διανομή.
2. Πρακτικοί Τρόποι Διάκρισης
Κανόνας του Διπλασιασμού: Ένας γρήγορος τρόπος για να ελέγξετε την αναλογία είναι να δείτε αν ο διπλασιασμός του ενός ποσού επιφέρει τον υποδιπλασιασμό (το μισό) του άλλου.
Έλεγχος Πίνακα: Αν έχετε έναν πίνακα τιμών, πολλαπλασιάστε τις τιμές κάθε ζεύγους μεταξύ τους. Αν έστω και ένα γινόμενο διαφέρει από τα υπόλοιπα, τότε τα ποσά δεν είναι αντιστρόφως ανάλογα.
Φύση του Προβλήματος: Συνήθως αφορούν καταστάσεις όπου μια σταθερή ποσότητα μοιράζεται (π.χ. κομμάτια πίτσας σε παιδιά) ή ένα έργο εκτελείται από διαφορετικό αριθμό ατόμων.
3. Γραφική Παράσταση Η γραφική παράσταση των αντιστρόφως αναλόγων ποσών είναι μια καμπύλη γραμμή που ονομάζεται υπερβολή. Χαρακτηριστικό της υπερβολής είναι ότι δεν τέμνει ποτέ τους ημιάξονες \(Ox\) και \(Oy\), καθώς καμία τιμή των ποσών δεν μπορεί να είναι μηδέν (αφού το γινόμενό τους πρέπει να ισούται με τη σταθερά \(\alpha\)).
0.2 Μεθοδολογία Επίλυσης Προβλημάτων
Υπάρχουν τρεις κύριοι τρόποι για να λύσετε προβλήματα με αντιστρόφως ανάλογα ποσά:
Με Αναγωγή στη Μονάδα: Βρίσκουμε την τιμή που αντιστοιχεί στο “ένα” κάνοντας πολλαπλασιασμό των δεδομένων και στη συνέχεια διαιρούμε για να βρούμε την τιμή των “πολλών”.
Με Πίνακα και Εξίσωση: Σχηματίζουμε την εξίσωση \(x_1 \cdot y_1 = x_2 \cdot y_2\), πολλαπλασιάζοντας δηλαδή τις τιμές “στη σειρά” και όχι “χιαστί”.
Με την Απλή Μέθοδο των Τριών: Τοποθετούμε τα ομοειδή ποσά το ένα κάτω από το άλλο και υπολογίζουμε τον άγνωστο \(x\) πολλαπλασιάζοντας την τιμή πάνω από αυτόν με το κλάσμα των άλλων δύο τιμών χωρίς να το αντιστρέψουμε.
0.3 Λυμένα Παραδείγματα και Ασκήσεις
Άσκηση 1 (Εργάτες και Χρόνος) 5 εργάτες τελειώνουν ένα έργο σε 40 ημέρες. Σε πόσες ημέρες θα τελειώσουν το ίδιο έργο 10 εργάτες;
Λύση με Γινόμενο: Τα ποσά είναι αντιστρόφως ανάλογα γιατί περισσότεροι εργάτες σημαίνουν λιγότερες ημέρες. Το σταθερό γινόμενο είναι \(5 \cdot 40 = 200\) (συνολική εργασία). Άρα \(10 \cdot x = 200 \Rightarrow x = 200 : 10 = 20\) ημέρες.
Λύση με Μέθοδο Τριών: 5 εργάτες \(\rightarrow\) 40 ημέρες 10 εργάτες \(\rightarrow\) \(x\) ημέρες \(x = 40 \cdot \frac{5}{10} = \frac{200}{10} = 20\) ημέρες.
Άσκηση 2 (Ταχύτητα και Χρόνος) Ένα αυτοκίνητο διανύει μια απόσταση σε 2 ώρες με ταχύτητα 80 χλμ/ώρα. Αν διπλασιάσει την ταχύτητά του, σε πόση ώρα θα καλύψει την ίδια απόσταση;
- Λύση: Εφόσον διπλασιάζεται η ταχύτητα, ο χρόνος θα γίνει ο μισός. Σταθερή απόσταση: \(80 \cdot 2 = 160\) χλμ. Νέα ταχύτητα: \(160\) χλμ/ώρα. Χρόνος: \(160 : 160 = 1\) ώρα.
Άσκηση 3 (Συσκευασία) Θέλουμε να συσκευάσουμε 1.000 λίτρα γάλα. Αν χρησιμοποιήσουμε δοχεία των 2 λίτρων, χρειαζόμαστε 500 δοχεία. Πόσα δοχεία των 5 λίτρων θα χρειαστούμε;
- Λύση: Το γινόμενο είναι σταθερό (1.000 λίτρα). \(5 \cdot x = 1.000 \Rightarrow x = 1.000 : 5 = 200\) δοχεία.
Άσκηση 4 (Έλεγχος Αναλογίας από Πίνακα) Εξετάστε αν τα ποσά \(x\) και \(y\) είναι αντιστρόφως ανάλογα: \((2, 6), (3, 4), (4, 3), (6, 3)\).
- Λύση: Υπολογίζουμε τα γινόμενα: \(2 \cdot 6 = 12\), \(3 \cdot 4 = 12\), \(4 \cdot 3 = 12\), αλλά \(6 \cdot 3 = 18\). Επειδή το τελευταίο γινόμενο διαφέρει, τα ποσά δεν είναι αντιστρόφως ανάλογα.
Άσκηση 5 (Διαμοιρασμός) Ένα χρηματικό έπαθλο μοιράζεται σε 2 νικητές και ο καθένας παίρνει 240 €. Πόσα θα έπαιρνε ο καθένας αν οι νικητές ήταν 6;
- Λύση: Το συνολικό ποσό είναι \(2 \cdot 240 = 480\) €. Αν οι νικητές είναι 6, τότε \(480 : 6 = 80\) € ο καθένας.
Η απλή μέθοδος των τριών στα αντιστρόφως ανάλογα ποσά είναι μια αλγοριθμική διαδικασία που χρησιμοποιείται για την εύρεση μιας άγνωστης τιμής, όταν γνωρίζουμε τρεις άλλες τιμές σε μια σχέση δύο ποσών. Η σωστή εφαρμογή της απαιτεί τρία συγκεκριμένα στάδια:
- Κατάταξη: Τοποθετούμε τα δεδομένα του προβλήματος έτσι ώστε τα ποσά του ίδιου είδους να βρίσκονται το ένα κάτω από το άλλο (σε στήλες).
- Παράδειγμα: 4 εργάτες τελειώνουν ένα έργο σε 12 ημέρες
οι 8 εργάτες σε πόσες ημέρες θα τελειώσουν το ίδιο έργο;
4 εργάτες \(\rightarrow\) 12 ημέρες
8 εργάτες \(\rightarrow\) x ημέρες
_______________________________________
\(4\cdot12=8\cdot x\) \(\Rightarrow\) \(48=8 \cdot x\) \(\Rightarrow\) \(x=\frac{48}{8}=6\) ημέρες.
Σύγκριση και Έλεγχος: Εξετάζουμε αν τα ποσά είναι αντιστρόφως ανάλογα. Διαπιστώνουμε αν, όταν διπλασιάζεται ή τριπλασιάζεται η τιμή του ενός ποσού, η αντίστοιχη τιμή του άλλου υποδιπλασιάζεται ή υποτριπλασιάζεται. Στο παράδειγμα των εργατών, εφόσον αυξάνεται ο αριθμός των ατόμων, ο χρόνος ολοκλήρωσης του έργου θα μειωθεί.
Υπολογισμός: Βρίσκουμε την άγνωστη τιμή \(x\) πολλαπλασιάζοντας τον αριθμό που βρίσκεται πάνω (ή κάτω) από το \(x\) με το κλάσμα των άλλων δύο τιμών χωρίς να το αντιστρέψουμε. Αυτή είναι η βασική διαφορά από τα ανάλογα ποσά, όπου το κλάσμα αντιστρέφεται.
Μαθηματική Λογική και Εφαρμογή: Στα αντιστρόφως ανάλογα ποσά, το γινόμενο των αντίστοιχων τιμών παραμένει σταθερό (\(x \cdot y = \alpha\)). Έτσι, στην απλή μέθοδο των τριών, ο υπολογισμός βασίζεται στον πολλαπλασιασμό των αριθμών «στη σειρά» (οριζόντια) και όχι «χιαστί».
Με βάση το προαναφερθέν παράδειγμα: \(x = 12 \cdot \frac{4}{8} \Rightarrow x = \frac{48}{8} \Rightarrow x = 6 \text{ ημέρες}\).
Σημαντική Παρατήρηση: Η κρίσιμη στιγμή της μεθόδου είναι η σύγκριση, καθώς μια λανθασμένη παραδοχή αναλογίας (αν δηλαδή θεωρήσουμε τα ποσά ανάλογα ενώ είναι αντίστροφα) οδηγεί σε παντελώς εσφαλμένα αποτελέσματα.
Τα αντιστρόφως ανάλογα ποσά χαρακτηρίζονται από τη σχέση όπου, όταν το ένα μέγεθος πολλαπλασιάζεται με έναν αριθμό, το άλλο διαιρείται με τον ίδιο αριθμό, διατηρώντας το γινόμενό τους σταθερό.
Ακολουθούν αναλυτικά παραδείγματα από την καθημερινή ζωή και την επιστήμη:
Αριθμός εργατών και Χρόνος εργασίας: Για την εκτέλεση ενός συγκεκριμένου έργου (π.χ. το χτίσιμο μιας μάντρας ή το μάζεμα ελιών), όσο περισσότεροι εργάτες απασχολούνται με την ίδια απόδοση, τόσο λιγότερος χρόνος απαιτείται για την ολοκλήρωσή του.
Ταχύτητα και Χρόνος: Όταν ένα όχημα (αυτοκίνητο, τρένο, πλοίο) διανύει μια σταθερή απόσταση, η ταχύτητα με την οποία κινείται και ο χρόνος που χρειάζεται είναι ποσά αντιστρόφως ανάλογα. Για παράδειγμα, αν ένα αυτοκίνητο διπλασιάσει την ταχύτητά του, θα χρειαστεί τον μισό χρόνο για να φτάσει στον προορισμό του.
Χωρητικότητα και Πλήθος δοχείων: Για τη συσκευασία μιας σταθερής ποσότητας υγρού (π.χ. 1.000 λίτρα γάλα ή λάδι), όσο μεγαλύτερη είναι η χωρητικότητα κάθε δοχείου, τόσο μικρότερος αριθμός δοχείων θα χρειαστεί.
Διαμοιρασμός σταθερής ποσότητας (π.χ. Φαγητό): Ο αριθμός των παιδιών και τα κομμάτια πίτσας που θα φάει το καθένα από μια ολόκληρη πίτσα είναι ποσά αντιστρόφως ανάλογα. Αν τα παιδιά διπλασιαστούν, το μερίδιο του καθενός θα υποδιπλασιαστεί.
Αγορά αντικειμένων με σταθερό ποσό: Αν διαθέτετε ένα συγκεκριμένο χρηματικό ποσό (π.χ. 480 €) για την αγορά τραπεζιών, ο αριθμός των τραπεζιών που μπορείτε να αγοράσετε είναι αντιστρόφως ανάλογος με την αξία του κάθε τραπεζιού.
Δόσεις εξόφλησης: Όταν αγοράζετε μια συσκευή (π.χ. τηλεόραση) με δόσεις, ο αριθμός των δόσεων είναι αντιστρόφως ανάλογος με το ποσό της κάθε δόσης. Περισσότερες δόσεις σημαίνουν μικρότερο ποσό πληρωμής ανά μήνα.
Συντήρηση Πόρων και Πλήθος ατόμων: Σε ένα στρατόπεδο ή μια ομάδα ορειβατών, οι ημέρες που επαρκούν τα τρόφιμα είναι ποσά αντιστρόφως ανάλογα με τον αριθμό των ατόμων.
Παροχή βρύσης και Χρόνος γεμίσματος: Όσο μεγαλύτερη είναι η ποσότητα νερού που δίνει μια βρύση ανά λεπτό, τόσο λιγότερες ώρες χρειάζονται για να γεμίσει μια δεξαμενή.
Γεωμετρικές διαστάσεις: Σε ένα ορθογώνιο παραλληλόγραμμο με σταθερό εμβαδόν, το μήκος και το πλάτος του είναι ποσά αντιστρόφως ανάλογα. Το ίδιο ισχύει για τη βάση και το ύψος ενός τριγώνου με σταθερό εμβαδόν.
Φυσική (Νόμος του Boyle): Η πίεση και ο όγκος ενός αερίου υπό σταθερή θερμοκρασία μεταβάλλονται αντιστρόφως ανάλογα.
Μηχανική (Γρανάζια): Ο αριθμός των δοντιών σε δύο γρανάζια που συνεργάζονται είναι αντιστρόφως ανάλογος με τον αριθμό των στροφών που εκτελούν.
Διαχείριση εξόδων ταξιδιού: Αν έχετε ένα σταθερό ποσό για ημερήσια έξοδα σε ένα ταξίδι, οι ημέρες παραμονής είναι αντιστρόφως ανάλογες με το ποσό που ξοδεύετε ανά ημέρα.
Η επίλυση προβλημάτων με αντιστρόφως ανάλογα ποσά μέσω της αναγωγής στη μονάδα ακολουθεί μια αντίστροφη λογική σε σχέση με τα ανάλογα ποσά, καθώς βασίζεται στο γεγονός ότι το γινόμενο των τιμών παραμένει σταθερό.
Η μεθοδολογία περιλαμβάνει δύο βασικά στάδια:
Πολλαπλασιασμός για την εύρεση της μονάδας: Σε αντίθεση με τα ανάλογα ποσά, εδώ δεν διαιρούμε αλλά πολλαπλασιάζουμε τις δύο γνωστές τιμές του προβλήματος. Με αυτόν τον τρόπο βρίσκουμε την τιμή που αντιστοιχεί στη μονάδα (π.χ. τι θα έκανε ο ένας εργάτης ή τι θα συνέβαινε σε μία ημέρα). Το αποτέλεσμα αυτό αντιπροσωπεύει τη σταθερά του συστήματος (όπως το συνολικό έργο ή τη συνολική χωρητικότητα).
Διαίρεση για την εύρεση του ζητουμένου: Στη συνέχεια, διαιρούμε το σταθερό γινόμενο που βρήκαμε με τον αριθμό που μας δίνει η εκφώνηση για το δεύτερο ποσό, ώστε να υπολογίσουμε την άγνωστη τιμή.
0.4 Παράδειγμα Εφαρμογής
Έστω ότι 6 εργάτες τελειώνουν ένα έργο σε 20 ημέρες. Θέλουμε να μάθουμε σε πόσες ημέρες θα το τελειώσουν 10 εργάτες:
Βήμα 1 (Αναγωγή στο 1): Ο 1 εργάτης θα χρειαζόταν περισσότερο χρόνο για να τελειώσει το έργο, άρα πολλαπλασιάζουμε: \(6 \cdot 20 = 120\) ημέρες. (Από το προηγούμενο παράδειγμα)
Βήμα 2 (Υπολογισμός για τους πολλούς): Οι 10 εργάτες θα χρειαστούν λιγότερο χρόνο, άρα διαιρούμε το συνολικό έργο με τον αριθμό τους: \(120 : 10 = \mathbf{12}\) ημέρες.
Συνοπτικός Κανόνας: Στα αντιστρόφως ανάλογα ποσά, βρίσκουμε το «ένα» κάνοντας πολλαπλασιασμό και τα «πολλά» κάνοντας διαίρεση.
10 αναλυτικά λυμένα προβλήματα και 10 άλυτα για εξάσκηση, βασισμένα στις ιδιότητες των αντιστρόφως αναλόγων ποσών.
0.5 10 Αναλυτικά Λυμένα Προβλήματα
Πρόβλημα 1 (Εργάτες και Χρόνος) Οι 5 εργάτες τελειώνουν ένα έργο σε 40 ημέρες. Σε πόσες ημέρες θα τελειώσουν το ίδιο έργο οι 10 εργάτες;
Ανάλυση: Τα ποσά είναι αντιστρόφως ανάλογα, γιατί αν διπλασιαστούν οι εργάτες, ο χρόνος θα υποδιπλασιαστεί.
Λύση με σταθερό γινόμενο: Το γινόμενο \(5 \cdot 40 = 200\) (συνολική εργασία). Άρα: \(10 \cdot x = 200 \Rightarrow x = 200 : 10 = 20\).
Απάντηση: Οι 10 εργάτες θα χρειαστούν 20 ημέρες.
Πρόβλημα 2 (Απλή Μέθοδος των Τριών) Αν 4 εργάτες τελειώνουν ένα έργο σε 12 ημέρες, σε πόσες ημέρες θα το τελειώσουν 8 εργάτες;
Κατάταξη: 4 εργάτες \(\rightarrow\) 12 ημέρες 8 εργάτες \(\rightarrow\) \(x\) ημέρες
Λύση: Στα αντιστρόφως ανάλογα ποσά, πολλαπλασιάζουμε την τιμή πάνω από το \(x\) με το κλάσμα των άλλων δύο τιμών χωρίς να το αντιστρέψουμε. \(x = 12 \cdot \frac{4}{8} = \frac{48}{8} = 6\).
Απάντηση: Οι 8 εργάτες θα τελειώσουν σε 6 ημέρες.
Πρόβλημα 3 (Ταχύτητα και Χρόνος) Ένα τρένο με ταχύτητα 96 χλμ/ώρα φτάνει στον προορισμό του σε 40 λεπτά. Αν διπλασιάσει την ταχύτητά του, σε πόσο χρόνο θα φτάσει;
Ανάλυση: Ταχύτητα και χρόνος είναι αντιστρόφως ανάλογα ποσά για σταθερή απόσταση.
Λύση: Εφόσον η ταχύτητα διπλασιάζεται, ο χρόνος θα γίνει ο μισός. \(40 : 2 = 20\) λεπτά.
Απάντηση: Θα φτάσει σε 20 λεπτά.
Πρόβλημα 4 (Συσκευασία) Για να συσκευάσουμε 1.000 λίτρα γάλα σε δοχεία των 2 λίτρων χρειαζόμαστε 500 δοχεία. Πόσα δοχεία των 5 λίτρων θα χρειαστούμε;
Λύση: Το σταθερό γινόμενο είναι η συνολική ποσότητα (1.000 λίτρα). \(x = 1.000 : 5 = 200\) δοχεία.
Απάντηση: Θα χρειαστούμε 200 δοχεία.
Πρόβλημα 5 (Τρόφιμα και Άτομα) Ένα πλοίο έχει 20 άνδρες και τρόφιμα για 30 ημέρες. Μετά από 15 ημέρες παραλαμβάνει άλλους 10 ναυαγούς. Για πόσες μέρες ακόμα θα φτάσουν τα τρόφιμα;
Λύση: Αρχικά έμεναν τρόφιμα για 20 άνδρες για 15 ημέρες (\(20 \cdot 15 = 300\) μερίδες). Τώρα οι άνδρες είναι \(20 + 10 = 30\). \(x = 300 : 30 = 10\) ημέρες.
Απάντηση: Τα τρόφιμα θα επαρκέσουν για άλλες 10 ημέρες.
Πρόβλημα 6 (Περίφραξη/Πάσσαλοι) Ένα κτήμα χρειάζεται 150 πασσάλους αν τοποθετηθούν ανά 2,5 μ. Πόσους θα χρειαστεί αν τοποθετηθούν ανά 1,5 μ.;
Λύση: Η συνολική απόσταση είναι σταθερή: \(150 \cdot 2,5 = 375\) μέτρα. \(x = 375 : 1,5 = 250\) πάσσαλοι.
Απάντηση: Θα χρειαστούν 250 πάσσαλοι.
Πρόβλημα 7 (Αναδάσωση) 20 εργάτες αναδασώνουν μια έκταση σε 10 ημέρες. Πόσοι εργάτες χρειάζονται για να την αναδασώσουν σε 8 ημέρες;
Λύση: Σταθερό γινόμενο \(20 \cdot 10 = 200\) εργατοώρες. \(x = 200 : 8 = 25\) εργάτες.
Απάντηση: Χρειάζονται 25 εργάτες.
Πρόβλημα 8 (Προϋπολογισμός Διακοπών) Ένας ταξιδιώτης έχει 200€ για έξοδα. Αν ξοδεύει 20€/ημέρα, μένει 10 ημέρες. Πόσα πρέπει να ξοδεύει την ημέρα για να μείνει 16 ημέρες;
Λύση: Το συνολικό ποσό είναι σταθερό (200€). \(x = 200 : 16 = 12,5\) €.
Απάντηση: Πρέπει να ξοδεύει 12,5 € την ημέρα.
Πρόβλημα 9 (Διαμοιρασμός Πίτσας) Σε μια πίτσα 12 κομματιών, αν φάει 1 παιδί, παίρνει 12 κομμάτια. Αν φάνε 4 παιδιά, πόσα θα πάρει το καθένα;
Λύση: Το γινόμενο είναι σταθερό (12 κομμάτια). \(1 \cdot 12 = 4 \cdot x \Rightarrow x = 12 : 4 = 3\).
Απάντηση: Κάθε παιδί θα φάει 3 κομμάτια.
Πρόβλημα 10 (Γεωμετρία - Ορθογώνιο) Ένα ορθογώνιο έχει εμβαδόν 144 τ.μ. Αν η μία πλευρά του είναι 12 μ., πόση είναι η άλλη; Αν η μία γίνει 6 μ., πόση θα είναι η άλλη;
Λύση: Μήκος και πλάτος είναι αντιστρόφως ανάλογα για σταθερό εμβαδόν. α) \(144 : 12 = 12\) μ. β) \(44 : 6 = 24\) μ.
Απάντηση: 12 μ. και 24 μ. αντίστοιχα.
0.6 10 Άλυτα Προβλήματα για Εξάσκηση
Βρύσες: Μια βρύση γεμίζει μια δεξαμενή σε 12 ώρες. Σε πόσες ώρες θα τη γεμίσουν 3 ίδιες βρύσες;
Στρατιώτες: 12 στρατιώτες έχουν τρόφιμα για 27 ημέρες. Αν προστεθούν άλλοι 6 στρατιώτες, για πόσες ημέρες θα φτάσουν τα τρόφιμα;
Δόσεις: Για την αγορά μιας τηλεόρασης, κάποιος πληρώνει 12 δόσεις των 50€. Αν ήθελε να την εξοφλήσει σε 8 δόσεις, πόσο θα ήταν το ποσό της κάθε δόσης; [Βασισμένο στο 164]
Γρανάζια: Ένα γρανάζι με 20 δόντια κάνει 60 στροφές το λεπτό. Ένα άλλο γρανάζι που συνεργάζεται μαζί του έχει 40 δόντια. Πόσες στροφές θα κάνει;
Ορειβάτες: Μια ομάδα 6 ορειβατών έχει τρόφιμα για 24 ημέρες. Αν στην ομάδα προστεθούν άλλοι 3 ορειβάτες, πόσες ημέρες θα περάσουν;
Ελαιοχρωματιστές: Ένα συνεργείο 18 εργατών χρειάζεται 9 ημέρες για να βάψει μια πολυκατοικία. Πόσοι εργάτες πρέπει να προστεθούν για να τελειώσει το έργο 3 ημέρες νωρίτερα;
Πισίνα: 4 αντλίες αδειάζουν μια πισίνα σε 6 ώρες. Πόσες αντλίες χρειάζονται για να αδειάσει σε 3 ώρες;
Αγορά επίπλων: Ο κ. Χρήστος ξόδεψε 480€ για να αγοράσει 6 τραπέζια. Πόσο θα κόστιζε το ένα τραπέζι αν με τα ίδια χρήματα αγόραζε 4 τραπέζια;
Ταχύτητα και Χρόνος: Ένα αυτοκίνητο καλύπτει μια απόσταση σε 3 ώρες με ταχύτητα 80 χλμ/ώρα. Πόση ώρα θα χρειαστεί αν τρέχει με 120 χλμ/ώρα;
Έπαθλο: Ένα χρηματικό ποσό μοιράζεται σε 4 νικητές και ο καθένας παίρνει 500€. Αν οι νικητές ήταν 5, πόσα χρήματα θα έπαιρνε ο καθένας;